·

·

Transfinitud y Trascendencia

_
La pregunta es ¿cuánto se utiliza del contínuo? Dicho de otra manera, si consideramos, no el potencial proficuo de posibilidades exóticas que tiene el conjunto de los números reales, sino el empleo usual de los números que hacen las disciplinas que tienen como herramienta habitual a la matemática (incluída la mayor parte de la matemática, que no se especializa en indagaciones específicas sobre los números); si consideramos entonces, la manipulación más común y corriente de elementos concretos de la recta R, ¿cuánto de ella, cuánto de su infinitud no numerable, llegamos a afectar?

Hagamos el ejercicio mental de ir agujereándola a medida que vamos descartando los conjuntos de números más ventilados en la práctica habitual, una suerte de cortaduras de Dedekind, pero al revés.

Primeramente tendremos al conjunto N de números naturales, y a los enteros Z por extensión inmediata. Resulta entonces R con una cantidad de 'agujeros' vacíos precisamente donde ponemos las 'marcas' de los enteros. No parece afectar mucho. La recta R queda sin un conjunto numerable y discreto.

Podemos seguir con el conjunto Q de los racionales, o con lo que queda de él, en realidad puesto que ya quitamos a los enteros. Aquí ya, como sabemos, la intuición geométrica empieza a flaquear: dado que el conjutno Q es denso, resultará que acuchillaremos a la recta R densamente, y sin embargo, sólo le habremos quitado una cantidad numerable de elementos, y, más notable aún el conjunto resultante seguirá siendo denso. Y, como por añadidura Q es numerable, la no-numerabilidad de R persistirá incólume.

Así entonces, nos quedan R-Q, los números irracionales. ¿Qué más podemos sacar de allí que sea partícipe habitual del uso matemático? Pues los algebraicos. Toda variedad de radicales aparecen contínuamente cualesquier escritura matemática que nos cruzemos. Y con ello... tan sólo habremos extraído otro conjunto numerable y denso (ejercicio propuesto pensando en voz alta: probar que el conjunto de los algebraicos es denso).

Y entonces, ¿Qué queda de R? Nada menos que los números trascendentes: lo auténticamente no numerable del conjunto R.

[Disgresión: Don Julio Rey Pastor le decía a su colega Pedro Pi Calleja: "¡Usted es irracional profesor!", a lo cual este le espetaba "Sí, irracional... ¡¡¡pero trascendente!!!"]

Y ahora bien, en práctica usual de la matemática... ¿cuántos números trascendentes, de su infinitud no numerable de posibilidades, cuántos realmente se usan?

Respuesta: dos.

Y, sí, excepto e y pi, cuántos números trascendentes, individualizados y concretos, se cruzan en la vida de cualquier usuario de la matemática?

Por supuesto, no es que no haya -já ¡son no numerables!- the point is, ¿cuántos andan por ahí metiéndose en la vida de la gente que hace matemática? Esos dos, y podemos pensar en muchas otras criaturas de esa especie, pero será muy raro que se le aparezcan a quien no los busca deliberadamente.

Así entonces, por mucho trajinar haciendo 'ganchos'... "Habremos sido como niños pequeños que jugando en la playa, encontrábamos de tarde en tarde un racional más liso, o un algebraico más bonito que otro; mientras el Océano de la trascendencia se extendía por ante nuestro, toda ella por descubrir"
_

8 refutaciones:

Vincent Vega dijo...

Un lindo tono poético para esa esquina que parece tan árida.
Los otros días escuchaba decir que "el tránsito de São Paulo va a parar un día", en un programa donde se hablaba del caos de tránsito que es esa urbe de 18 millones. No le faltaba razón, aunque nos palpitábamos que lo que está atrás de la frase debe ser una curva logarítmica con algún valor asintótico o cerca.

Anónimo dijo...

la verdad, me sorprendio tanta rigurosidad.

saludos

PS le falto la constante de estructura fina, pero ya va a aparecer un fisico

ayj

Anónimo dijo...

Siri es el segundo deleite matemático en poco tiempo, estás convirtiéndote a la secta? :)

Muy bueno el post, lo disfruté mucho; pero quiero agregar una cosa. Es un ejercicio de cardinalidad medio elemental pero me dejó pasmado de una manera poderosa. Suponete que tenés un alfabeto finito y una manera de escribir palabras (como por ejemplo los números del 1 al 10 y la forma de representar cualquier real como suma (eventualmente infinita) de potencias positivas y negativas de 10 multiplicadas por coeficientes entre 0 y 9). Entonces la cantidad de palabras que podés escribir (números que podés representar) es numerable. O sea, nunca vas a poder dar una forma (no te digo escribirlos, dar la forma) que permita representar a todos los reales! Zarpado.


SPOILER SPOILER!! por otro lado, ver que hay numerables números algebraicos es fácil porque están identificados con los polinomios a coeficientes racionales, que son un conjunto numerable (hay que probar que unir numerables conjuntos numerables da como resultado un conjunto numerable)*

*: como curiosidad, para probar eso es necesario asumir el Axioma de Elección


Q

Anónimo dijo...

Hola , un gusto poder difundir esta pagina.
ZG

http://www.elespiritudeltiempo.org/

Frank Pentangeli dijo...

Muy bueno, siri. No es lo que uno espera encontrar cuando entra a Datos Duros pero siga con estos posts que a los matematicomaniacos nos gustan mucho.

Marco[s] dijo...

te juro que no entendí nada.

y el comentario de Q contagia de entusiasmo, pero no logro comprender que dice.

Es frustrante.

Sirinivasa dijo...

Estimados: se agradece la devolución, cuando postié tenía mis dudas de que pasara sin pena ni gloria, pero ha resultado un buen estímulo, para seguir mechando cada tanto con estas cosillas.

Q: digamos que soy un recuperado de la secta, pero después de rehabilitación y tratamiento, pasa como con esos borrachos perdidos que cada tanto pasan por la puerta de un bar y luego de dudar un poco se mandan pa' adentro, y una vez allí, ya sin tapujos, le dicen al mozo que la botella esa marroncita que dice Bols la deje nomás en la mesa...

Marco[s]: mis excusas, así como fue la cosa claramente resultó sólo para 'iniciados', me prometo ensayar alguna aproximación más gradual.

Q: lo que menciona es notable, todavía lo estoy digiriendo, pero pareciara intuitivamente bastante claro, con un resultado fuertemente contraintuitivo! Si tiene link de eso, mande!

Anónimo dijo...

Siri: no tengo link, es un ejercicio de Cálculo Avanzado (estudio la carrera de matemática en mi tiempo libre). El camino es así: ponele que tenés una colección numerable de conjuntos U_1, U_2, ...., U_n, .... (un U_i por cada natural), y cada uno de los U_i es numerable. Bueno, entonces hay que probar que la unión de los U'es es también numerable

(SPOILER: mandás el U_1 a las potencias de 2, el U_2 a las potencias de 3, el U_3 a las potencias de 5, el U_4 a las potencias de 7, y así con todos los primos, entonces tenés una inyección entre la unión de los U'es y N, entonces la unión es numerable FIN DE SPOILER)

Pero bueno, ahora las palabras que podés escribir con un alfabeto finito son un conjunto de la siguiente forma:
si llamás U_i al conjunto de todas las palabras de longitud i que podés hacer, cada U_i es finito. Entonces la unión tiene que ser numerable. Listo, sólo podés escribir numerables símbolos.

Q

pd: si querés resultados contraintuitivos buscá en google/wiki la paradoja de Banach-Tarski. Te va a volar los sesos :D